Multi snapshot RFI localization fusion algorithm based on gaussian process regression
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摘要:
综合孔径辐射计的接收数据易受射频干扰污染，影响后续产品质量。射频干扰源的精确定位是处理射频干扰的关键步骤。在以往的研究中，通过对多快拍中同一射频干扰源的定位结果做平均以提高其定位精度。然而，同一射频干扰源在不同快拍中的位置和强度不同，导致不同快拍中同一射频干扰源的定位精度不同。因此，简单平均算法难以获得最优的定位精度。首先，文章提出了一种基于高斯过程回归的多快拍射频干扰定位融合算法。该算法通过高斯过程回归对射频干扰源不同方向的定位误差数据进行回归学习得到相应的定位误差估计模型；其次，使用该模型对每张快拍中射频干扰源在不同方向上的定位误差进行估计，并以此为标准给各快拍中射频干扰不同方向上的定位结果分配权重；最后，通过加权融合得到射频干扰源的精确定位。通过仿真实验，验证了该方法相比于简单平均算法的优越性。此外，文章使用土壤湿度和海洋盐度卫星数据进行了实验验证，证明了该方法的合理性和实用性。
Abstract:The received data of synthetic aperture interferometric radiometer is susceptible to radio frequency interference (RFI) contamination, which affects the quality of subsequent products. The accurate localization of RFIs is a key to eliminating or mitigating the effects of RFI. In previous studies, the localization accuracy was improved by averaging the localization results of the same RFI in multiple snapshots. However, the localization and intensity of the same RFI vary in different snapshots, resulting in different localization accuracies of the same RFI in different snapshots. Therefore, simple averaging algorithms are difficult to achieve optimal localization accuracy. This article proposes a multi snapshot RFI localization fusion algorithm based on gaussian process regression (GPR). The algorithm obtains the corresponding localization error estimation model by using the GPR model to perform regression learning on the localization error data of the RFI in different directions. Then, the model is used to estimate the localization error of RFIs in different directions for each snapshot, and weights are assigned to the localization results of RFI in different directions for each snapshot based on this standard. Finally, the precise localization of the RFI was obtained through weighted fusion, which improved the localization accuracy of RFI. Through simulation experiments, the superiority of this method over the simple averaging algorithm was verified. In addition, this paper conducted experimental verification using soil moisture and ocean salinity satellite data, demonstrating the rationality and practicality of this method.
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0. 引言
综合孔径辐射计（synthetic aperture interferometric radiometer，SAIR）可以实现对地球场景的大尺度实时探测，解决了传统微波辐射计口径有限、机械扫描困难等问题，并提高了观测的空间分辨率，在卫星遥感领域中起着至关重要的作用[1]。
尽管国际电信联盟无线电通信部门在相关无线电管理条例中已经明确规定，在无源微波遥感波段，禁止任何来自地球的人为发射,以避免造成相互干扰[2]。然而,从2009年发射的土壤湿度和海洋盐度（soil moisture and ocean salinity，SMOS）卫星多年的观测亮温图像来看,世界各地仍然存在大量未经授权的射频干扰（radio frequency interference，RFI）源[3 – 4]。
当重建亮温图像时，RFI源不仅会破坏它们自身所在的像素，还将通过旁瓣扩展到周围的其它像素，造成重大数据损失，从而阻碍地球物理参数的反演，降低数据的质量[4 – 6]。当前主要通过RFI抑制或者直接关掉RFI源来消除RFI源的影响。但不管采用何种方法，RFI源的精确定位都是RFI处理的关键参数。
现有的通过多快拍RFI定位结果来提高定位精度的方法通常是对多快拍中同一RFI源的定位结果做平均来实现[6 – 7]。在亮温域中，一个RFI源在亮温图像中表现为周围存在“拖尾”区域的强亮温点，RFI源可以通过旁瓣影响其附近区域，且处于其拖尾范围内的区域受影响程度更大[5]。因此，当同一张快拍中存在多个RFI源时，它们之间会相互干扰从而影响每个RFI源的定位结果，且影响程度与RFI源的位置与强度有关。实际探测中，RFI源的功率是时变的，导致不同快拍中同一RFI源的定位精度不同，甚至相差较大。当快拍中存在相近的RFI源时，相互干扰下，定位精度会变得很差。例如文献[7]中，当一张快拍中存在两个相近RFI源时，强源会掩盖弱源，从而形成一个拉长的RFI点，使得定位误差大大增加甚至只能检测出一个RFI源。此时，如果将该定位结果与检测到独立RFI源的快拍的定位结果进行简单平均，则会使得最终的定位结果劣于独立RFI源的快拍的定位结果。在文献[8]中，Oliva等提出对单个RFI源的所有定位结果进行平均，以提高地理定位精度，并在SMOS中得到了实际应用。然而，由于其中定位误差较大快拍的影响，使得最终得到的定位结果甚至不如单一快拍的定位结果。因此，对多快拍的RFI定位结果进行简单平均来提高定位精度的性能相对较低。
针对上述问题，本文提出了一种基于高斯过程回归的多快拍RFI定位融合算法。首先通过仿真生成RFI源在不同方向上的定位误差，利用高斯过程回归模型进行回归学习，得到不同方向上的定位误差估计模型；接着对每张快拍中各RFI源在不同方向上的定位误差进行估计，并以此为标准分配权重；其次选择某快拍坐标系为参考坐标系，实现坐标系统一；最后对各个快拍中同一RFI源不同方向上定位结果进行加权融合，得到各RFI源的融合定位结果。该算法充分利用多快拍的信息，提高了RFI源定位精度。
1. 综合孔径辐射计模型与RFI定位算法
本节分别介绍了综合孔径辐射计在有无RFI情况下的测量可见度模型与反演亮温模型，并介绍了本文使用的单快拍RFI源定位算法，这是全面理解本文的基础。
1.1 测量可见度模型
SAIR的测量值被称为可见度函数的样本，测量的是天线接收信号之间的互相关输出。其中第k个和第j个天线干涉测量的输出$ {V_{L1A}}\left( {{u_{kj}},{v_{kj}}} \right) $如式（1）所列[9 – 10]。
$$ \begin{aligned} & V_{L1A}\left(u_{kj},v_{kj}\right)= \\ & \quad\iint_{\xi^2+\eta^2}^{ }T_{L1A}^{real}\left(\xi,\eta\right)\tilde{r}_{kj}e^{-\mathrm{j}2\pi\left(u_{kj}\xi+v_{kj}\eta\right)}\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\end{aligned} $$ (1) 式（1）中，$ {V_{L1A}} $是测量可见度，$ \left( {{u_{kj}},{v_{kj}}} \right) $是第k和第j个天线构成的基线，等于归一化到波长的XY平面上的两个天线之间的间距， $\left( {\xi ,\eta } \right) = \left( \sin \theta \cos \varphi , \sin \theta \sin \varphi \right)$为球坐标系上的方向余弦，$ {\tilde r_{kj}} $为消条纹函数，$T_{L1A}^{real}\left( {\xi ,\eta } \right)$表示与测量可见度对应的场景亮温，如式（2）所列。
$$ \begin{aligned} & T_{L1A}^{real}\left(\xi,\eta\right)= \\ & \quad\frac{T_B\left(\xi,\eta\right)}{\sqrt{1-\xi^2-\eta^2}}\frac{F_k\left(\xi,\eta\right)F_j^*\left(\xi,\eta\right)}{\sqrt{\mathit{\Omega}_k\mathit{\Omega}_j}}\end{aligned} $$ (2) 式（2）中，$ {T_B}\left( {\xi ,\eta } \right) $表示理想场景亮温，单位是开尔文，$ \mathit{\Omega}_k $，$ \mathit{\Omega}_j $是为第k条和第j条天线的实心角， ${F_k}\left( {\xi ,\eta } \right)$、${F_j}\left( {\xi ,\eta } \right)$为第k条和第j条天线的归一化电压方向图。
理想情况下，${F_k}\left( {\xi ,\eta } \right)$、${F_j}\left( {\xi ,\eta } \right)$是相等的，大小均为F，消条纹函数$ {\tilde r_{kj}} $为1[11]，则式（1）可以进行化简，如式（3）所列。
$$ \begin{aligned} & V_{L1A}\left(u_{kj},v_{kj}\right)= \\ & \quad\iint_{\xi^2+\eta^2}^{ }T_{L1A}^{real}\left(\xi,\eta\right)e^{-\mathrm{j}2\pi\left(u_{kj}\xi+v_{kj}\eta\right)}\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\end{aligned} $$ (3) 从式（3）中可以看出，可见度与场景原始亮温之间满足二维傅里叶变换的关系。
当场景中存在RFI源时，因为来自RFI源与观测场景的信号是相互独立的，可见度函数满足叠加原理，因此测量可见度可划分为两个主要部分，地球场景的贡献与RFI的贡献，如式（4）所列。
$$ {V_{L1A}}\left( {u,v} \right) = {V_{scence}}\left( {u,v} \right) + \sum\limits_{n = 1}^N {{V_{RFI(n)}}\left( {u,v} \right)} $$ (4) 式（4）中，$ {V_{scence}}\left( {u,v} \right) $代表了地球表面和大气层的可见度函数， N为RFI源总数，$ {V_{RFI(n)}}\left( {u,v} \right) $为第n个RFI的可见度函数，如式（5）所列。
$$ \begin{aligned} & V_{RFI(n)}\left(u,v\right)= \\ & \quad\iint_{\xi^2+\eta^2}^{ }T_{RFI(n)}^{real}\left(\xi,\eta\right)e^{-\mathrm{j}2\pi\left(u\xi+v\eta\right)}\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\end{aligned} $$ (5) 1.2 反演亮温模型
由式（3）可得，可以用傅里叶反变换来重建场景的亮温分布，如式（6）所列。
$$ \begin{aligned} & T_{L1A}^{real}\left(\xi,\eta\right)= \\ & \quad\iint_{\xi^2+\eta^2}^{ }V_{L1A}\left(u,v\right)e^{\mathrm{j}2\pi\left(u\xi+v\eta\right)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{aligned} $$ (6) 在实际观测中，由于天线数量有限，构成的基线数量也有限，导致测量的可见度也是离散带限的[4]。因此式（6）通过离散近似离散傅里叶反变换表达式[12]如式（7）所列。
$$ T_{L1A}^{inv}\left(\xi,\eta\right)=\sum\limits_u^{ }\sum\limits_v^{ }V_{L1A}\left(u,v\right)e^{\mathrm{j}2\pi\left(u\xi+v\eta\right)} $$ (7) 式（7）中，$ T_{L1A}^{inv}\left( {\xi ,\eta } \right) $是可见度函数做离散傅里叶变换得到的反演亮温。
通过结合式（6）和式（7），可以借助综合孔径阵列因子来描述原始亮温与反演亮温之间的关系[13] 如式（8）所列。
$$ \begin{aligned} &T_{L1A}^{inv}\left( {\xi ,\eta } \right) = \\ &\quad AF\left( {\xi - {\xi '},\eta - {\eta '}} \right)T_{L1A}^{real}\left( {\xi ,\eta } \right) \end{aligned} $$ (8) 式（8）中，$ AF\left( {\xi - {\xi '},\eta - {\eta '}} \right) $为综合孔径辐射计的阵列因子，如式（9）所列。
$$ AF\left(\xi-\xi',\eta-\eta'\right)=\sum\limits_u^{ }\sum\limits_v^{ }e^{\mathrm{j}2\pi\left(u\left(\xi-\xi'\right)+v\left(\eta-\eta'\right)\right)} $$ (9) 当考虑场景中存在RFI时,由式（4）可得，同样可以将观测到的总亮温划分为地球场景的贡献和RFI的贡献[14]，如式（10）所列。
$$ \begin{aligned} &T_{L1A}^{real}\left( {\xi ,\eta } \right) = \\ &\quad T_{scence}^{real}\left( {\xi ,\eta } \right) + \sum\limits_{n = 1}^N {T_{RFI(n)}^{real}\delta \left( {\xi - {\xi _n},\eta - {\eta _n}} \right)} \end{aligned} $$ (10) 式（10）中，$ T_{scence}^{real}\left( {\xi ,\eta } \right) $是代表了地球表面和大气层的综合辐射亮温，$ T_{RFI(n)}^{real} $为第n个RFI的亮温，$ \left( {{\xi _n},{\eta _n}} \right) $为第n个RFI的方向余弦坐标。
结合式（9）和式（10），得到表达式如式（11）所列。
$$ \begin{aligned} &T_{L1A}^{inv}\left( {\xi ,\eta } \right) = \\ &\quad T_{scence}^{inv}\left( {\xi ,\eta } \right) + \sum\limits_{n = 1}^N {T_{RFI(n)}^{real}AF\left( {\xi - {\xi _n},\eta - {\eta _n}} \right)} \end{aligned} $$ (11) 式（11）中，$ T_{scence}^{inv}\left( {\xi ,\eta } \right) $是地球表面和大气层可见度函数做离散傅里叶变换得到的反演亮温。相比式（10），式（11）表征了反演亮温与多个RFI源不同强度之间的关系，考虑了多个RFI源间的相互影响。
1.3 基于反演亮温的单快拍RFI定位算法
本文采用基于亮温的方法对RFI进行分步检测定位[15]。首先通过式（7）利用测量可见度$ {V_{L1A}}(u,v) $进行亮温反演得到场景亮温$ T_{L1A}^{inv}\left( {\xi ,\eta } \right) $。
由式（11）可以看出，反演图像亮温等于场景亮温加上RFI亮温，局部在RFI位置处取得最大值。因此检测当前最强的亮温峰值，如果大于阈值$ {T_{th}} $（一般为350 K）则将其所在的位置作为RFI的位置，如式（12）所列。
$$ \left( {{{\hat \xi }_{RFI(i)}},{{\hat \eta }_{RFI(i)}}} \right) = \mathop {\arg \max }\limits_{\xi ,\eta } \left( {T_{raw}^{inv}\left( {\xi ,\eta } \right)} \right) $$ (12) 式（12）中，$ \left( {{{\hat \xi }_{RFI(i)}},{{\hat \eta }_{RFI(i)}}} \right) $为第i个RFI源的定位坐标。
然后对检测出的RFI源进行抑制，将该RFI源的可见度从测量可见度中消去，由式（4）可得，抑制后可见度如式（13）所列。
$$ {V_{mitigation}}\left( {u,v} \right) = {V_{L1A}}\left( {u,v} \right) - {V_{RFI(i)}}\left( {u,v} \right) $$ (13) 式（13）中，$ {V_{mitigation}}\left( {u,v} \right) $为抑制后可见度，$ {V_{RFI(i)}}\left( {u,v} \right) $为第i个RFI源贡献的可见度。
最后使用得到的抑制后可见度$ {V_{mitigation}}\left( {u,v} \right) $重复上述步骤，直到场景中检测不到RFI源。
2. 基于高斯过程回归的多快拍RFI定位融合算法
传统简单平均多快拍RFI定位算法与本文所提算法的流程图如图1所示。传统简单平均算法是通过对多快拍中同一RFI源的定位结果进行简单平均来提高定位精度。本文所提算法则是通过对多快拍中同一RFI源的定位误差进行估计，并通过估计误差进行加权融合的方法来提高定位精度。下面将简要介绍传统简单平均算法及其存在的问题，并详细介绍本文所提算法的具体步骤。
2.1 传统简单平均多快拍RFI定位算法及存在问题
简单平均算法的流程图如图1（a）所示。首先利用式（7）通过测量可见度$ {V_{L1A}}(u,v) $进行亮温反演得到亮温图像$ T_{L1A}^{inv}(\xi ,\eta ) $；然后检测其峰值是否大于阈值$ {T_{th}} $，大于则利用式（12）得到RFI的方向余弦坐标$ \left( {{{\hat \xi }_{RFI}},{{\hat \eta }_{RFI}}} \right) $；利用式（13）将该RFI源进行抑制后重复上述步骤直到快拍中检测不到RFI源。
接着对每幅快拍进行RFI检测定位，得到相应的RFI源定位数据集，如式（14）所列。
$$ \left\{\left(\hat{\xi}_{RFI(j)}^i,\hat{\eta}_{RFI(j)}^i\right)|i=1,2,\cdots,M;j=1,2,\cdots,N\right\} $$ (14) 式（14）中，$ \left( {\hat \xi _{RFI(j)}^i,\hat \eta _{RFI(j)}^i} \right) $表示第i幅快拍中的第j个RFI源，M为快拍总数，N为RFI源总数。
最后对数据集中的定位结果进行简单平均，得到RFI的精确定位结果，如式（15）所列。
$$ \left\{ \begin{gathered} {\overline \xi _{RFI(j)}} = \frac{1}{M}\sum\limits_{i = 1}^M {\hat \xi _{RFI(j)}^i} \\ {\overline \eta _{RFI(j)}} = \frac{1}{M}\sum\limits_{i = 1}^M {\hat \eta _{RFI(j)}^i} \\ \end{gathered} \right. $$ (15) 式（15）中，$ \left( {{{\overline \xi }_{RFI\left( j \right)}},{{\overline \eta }_{RFI\left( j \right)}}} \right) $为第j个RFI源的平均定位结果。
因此，简单平均算法得到的定位结果的均方误差表达式如式（16）所列。
$$ \begin{aligned} & MSE = \\ &\quad \frac{1}{M}\sum\limits_{i = 1}^M {\left[ {{{(\hat \xi _{RFI(j)}^i - {{\overline \xi }_{RFI(j)}})}^2} + {{(\hat \eta _{RFI(j)}^i - {{\overline \eta }_{RFI(j)}})}^2}} \right]} \end{aligned} $$ (16) 由式（16）可得，假如数据集中的某一个定位结果有较大的异常值，则其会对均方误差产生显著影响，从而严重影响简单平均后的定位精度。
造成这一结果的原因是简单平均算法没有考虑不同快拍中RFI源定位精度之间的差异。因此，本文提出了基于高斯过程回归的多快拍RFI定位融合算法，接下来将详细介绍本文所提算法。
2.2 多快拍RFI融合定位算法原理框架
结合式（11），当一幅快拍中存在多个RFI源时，其中一个RFI源在其余RFI源影响下的反演亮温如式（17）所列。
$$ \begin{aligned} &T_{RFI(i)}^{inv}\left( {\xi ,\eta } \right) = \\ &\quad T_{scence}^{inv}\left( {\xi ,\eta } \right) + \sum\limits_{n = 1}^N {T_{RFI(n)}^{real}AF\left( {\xi - {\xi _n},\eta - {\eta _n}} \right)} \end{aligned} $$ (17) 式（17）中，$ T_{RFI(i)}^{inv}\left( {\xi ,\eta } \right) $是第i个RFI源的反演亮温。
由式（17）可以发现，影响RFI反演亮温分布的关键因素为各RFI源之间的间距与亮温。因此，通过亮温对RFI进行定位时，各RFI源之间的间距与亮温也是每个RFI源定位误差的主要影响因素。所以，本文的方法不仅考虑了每幅快拍的定位结果，也将RFI源的定强结果作为影响因素之一。
本文算法整体流程图如图1（b）所示，首先通过仿真生成目标RFI源在不同方向上的定位误差随RFI源的间距与亮温比变化的数据；然后利用高斯过程回归模型对不同方向上的定位误差数据进行回归学习，得到不同方向上的定位误差估计模型；接着对多快拍进行RFI源处理，得到RFI源定位、定强数据集，将其输入到对应的模型中得到每张快拍中各RFI源在不同方向上的定位估计误差，并以此为标准分配权重；然后选择某快拍坐标系为参考坐标系，将各个快拍的RFI源定位结果转换至参考坐标系中，实现坐标系统一；最后对各个快拍中同一RFI源不同方向上定位结果进行加权融合，得到各RFI源的精确定位结果。
2.2.1 RFI源定强算法
本文的定强算法为[16]，首先根据之前介绍的定位算法得到RFI源的定位结果$ \left( {{{\hat \xi }_{RFI}},{{\hat \eta }_{RFI}}} \right) $；然后利用测量可见度$ {V_{L1A}}(u,v) $对RFI源定位结果处进行亮温反演得到该位置的原始亮温，如式（18）所列。
$$ \begin{aligned} & T_{raw}^{inv}\left(\hat{\xi}_{RFI},\hat{\eta}_{RFI}\right)= \\ & \quad\sum\limits_u^{ }\sum\limits_v^{ }V_{L1A}\left(u,v\right)e^{\mathrm{j}2\pi\left(u\hat{\xi}_{RFI}+v\hat{\eta}_{RFI}\right)}\end{aligned} $$ (18) 接着计算以定位结果为中心，大小为[11×11]的网格区域$ S $内的场景亮温平均值如式（19）所列。
$$ {T_{scenceAvg}} = \mathop {avg}\limits_{(\xi ,\eta ) \in S} (T_{raw}^{inv}(\xi ,\eta )) $$ (19) 最后计算RFI源的估计亮温如式（20）所列。
$$ {\hat T_{RFI}}\left( {{{\hat \xi }_{RFI}},{{\hat \eta }_{RFI}}} \right) = \frac{{T_{raw}^{inv}\left( {{{\hat \xi }_{RFI}},{{\hat \eta }_{RFI}}} \right) - {T_{scenceAvg}}}}{{{T_{{V_{1K}}}}\left( {{{\hat \xi }_{RFI}},{{\hat \eta }_{RFI}}} \right)}} $$ (20) 式（20）中，$ {T_{{V_{1K}}}}\left( {{\xi _{RFI}},{\eta _{RFI}}} \right) $是点$ \left( {{\xi _{RFI}},{\eta _{RFI}}} \right) $处的1K原始亮温的点源响应。
2.2.2 构造RFI源定位误差数据集
一幅快拍中存在一个RFI源，其真实位置的方向余弦坐标为$ \left( {{\xi _{RFI}},{\eta _{RFI}}} \right) $。对该RFI源进行定位得到的定位结果的方向余弦坐标为$ \left( {{{\hat \xi }_{RFI}},{{\hat \eta }_{RFI}}} \right) $。因此，本文将定位结果与真实位置的方向余弦坐标的差值定义为RFI源的定位误差，且该误差与方向相关。在$ \xi $方向上的定位误差为$ {\hat \xi _{RFI}} - {\xi _{RFI}} $，在$ \eta $方向定位误差为$ {\hat \eta _{RFI}} - {\eta _{RFI}} $。
本文通过仿真生成了RFI源在$ \xi $方向与$ \eta $方向上的定位误差数据集，并记录了对应的RFI源间的间距与亮温比。
数据生成的过程为，通过仿真生成无RFI源场景，向其中添加两个模拟RFI源，其中一个作为目标RFI源，方向余弦坐标为$\left( {{\xi _1},{\eta _1}} \right)$，强度为${T_1}$；另一个作为干扰RFI源，方向余弦坐标为$\left( {{\xi _2},{\eta _2}} \right)$，强度为${T_2}$，得到仿真场景可见度$ {V_{sim}}\left( {u,v} \right) $。
利用式（7）对仿真场景进行亮温反演，得到仿真场景的亮温，如式（21）所列。
$$ T_{sim}\left(\xi,\eta\right)=\sum\limits_u^{ }\sum\limits_v^{ }V_{sim}\left(u,v\right)e^{\mathrm{j}2\pi\left(u\xi+v\eta\right)} $$ (21) 寻找大于检测阈值的亮温峰值，在该位置重构一个密集采样网络，在这个重构视场上，利用仿真场景可见度再次进行亮温反演，寻找重构视场中反演亮温峰值所在位置，将其视为RFI源精确位置，并进行RFI抑制，重复上述过程直至仿真场景中无RFI源存在。最终得到目标RFI源的定位结果为$\left( {{{\hat \xi }_1},{{\hat \eta }_1}} \right)$。
记录干扰RFI源与目标RFI源在$ \xi $方向的距离$ \Delta \xi = {\xi _2} - {\xi _1} $，$ \eta $方向的距离$ \Delta \eta = {\eta _2} - {\eta _1} $，二者的亮温比$ {{\Delta T = {T_2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta T = {T_2}} {{T_1}}}} \right. } {{T_1}}} $与目标RFI源在$ \xi $方向的定位误差$ {d_\xi } = {\hat \xi _1} - {\xi _1} $与$ \eta $方向的定位误差$ {d_\eta } = {\hat \eta _1} - {\eta _1} $。在仿真过程中，目标RFI源位置固定，仅改变干扰RFI源位置。重复n次，最终得到$ \xi $方向与$ \eta $方向上的训练数据。
综上，我们得到$ \xi $方向上的训练样本$ D_{\xi}= \left\{\left(x_i,d_{\xi(i)}\right)|i=1,2,3,\cdots,n\right\} $与$ \eta $方向上的训练样本$ D_{\eta}= \left\{\left(x_i,d_{\eta(i)}\right)|i=1,2,3,\cdots,n\right\} $。
其中${d_{\xi (i)}}$与${d_{\eta (i)}}$为训练样本中的预测变量，即$ \xi $方向的定位误差与$ \eta $方向的定位误差，n为训练样本数量。$ {x_i} $为训练样本中的自变量，即RFI源之间的间距$\Delta {\xi _i}$，$ \Delta {\eta _i} $与亮温比$\Delta {T_i}$，如式（22）所列。
$$ {x_i} = [\Delta {\xi _i},\Delta {\eta _i},\Delta {T_i}] $$ (22) 2.2.3 RFI源定位误差数据集的回归学习
高斯过程回归（gaussian process regression, GPR）模型是一种基于贝叶斯概率框架的非参数回归模型。本文通过GPR方法建立各RFI源间的间距与亮温比与RFI源的定位误差之间的对应关系，得到相应的预测模型。基本原理是将得到的训练数据建模为一系列高斯过程（gaussian process, GP），并将建模结果作为输出结果，以此实现多特征的预测。
假设训练样本中的自变量与响应变量之间的关系式如式（23）所列。
$$ \left\{ \begin{gathered} {d_\xi } = {f_\xi }\left( {\Delta \xi ,\Delta \eta ,\Delta T} \right) + \varepsilon \\ {d_\eta } = {f_\eta }\left( {\Delta \xi ,\Delta \eta ,\Delta T} \right) + \varepsilon \\ \end{gathered} \right. $$ (23) 结合式（22），自变量与响应变量关系式如式（24）所列。
$$ \left\{ \begin{gathered} {d_\xi } = {f_\xi }\left( x \right) + \varepsilon \\ {d_\eta } = {f_\eta }\left( x \right) + \varepsilon \\ \end{gathered} \right. $$ (24) $ {f_\xi }\left( x \right) $，$ {f_\eta }\left( x \right) $分别为自变量$ x $与响应变量$ {d_\xi } $，$ {d_\eta } $之间的回归函数，$ \varepsilon $为噪声，且假设它满足高斯分布，即$ \varepsilon ～\left(0,{\sigma }_{n}^{2}\right) $。
以$ {f_\xi }\left( x \right) $为例，假设$ {f_\xi }\left( x \right) $为高斯过程函数，根据高斯过程性质，其由均值函数$m(x)$与协方差函数$k(x,{x'})$完全确定。所以$ {f_\xi }\left( x \right) $的概率分布如式（25）所列。
$$ {f}_{\xi }\left(x\right)～GP(m(x),k(x,{x'})) $$ (25) 一个常规的高斯过程回归的先验是假设均值函数$m(x) = 0$；协方差函数为平方指数函数（square exponential ,SE），如式（26）所列。
$$ k(x,{x'}) = \sigma _f^2\exp \left[ { - \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {x - {x'}} \right)}^T}\left( {x - {x'}} \right)}}{{\sigma _l^2}}} \right] $$ (26) 式（26）中，${\sigma _f}$、${\sigma _l}$为超参数，${\sigma _f}$为信号标准差，${\sigma _l}$为特征长度标度。
选择好均值函数与核函数后，对核函数中的超参数进行初始化。设训练样本集$X$对应的响应值集和为$ {\boldsymbol{d}} $，结合式（23），式（25），可得$ {\boldsymbol{d}} $的先验分布如式（27）所列。
$$ {\boldsymbol{d}}～N\left(0,K(X,X)+{\sigma }_{n}^{2}I\right) $$ (27) 设预测样本集${X_*}$对应的响应值为${{\boldsymbol{d}}_ * }$，则二者的联合先验概率分布如式（28）所列。
$$ \left[\begin{array}{c}{\boldsymbol{d}}\\ {{\boldsymbol{d}}}_{\ast }\end{array}\right]～N\left(0,\left[\begin{array}{cc}K(X,X)+{\sigma }_{n}^{2}I& K{({X}_{\ast },X)}^{T}\\ K({X}_{\ast },X)& K({X}_{\ast },{X}_{\ast })\end{array}\right]\right) $$ (28) 式（28）中，
$$ \begin{aligned} &K(X,X) = K = \\ &\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k\left( {{x_1},{x_1}} \right)}&{k\left( {{x_1},{x_2}} \right)}& \cdots &{k\left( {{x_1},{x_n}} \right)} \\ {k\left( {{x_2},{x_1}} \right)}&{k\left( {{x_2},{x_2}} \right)}& \cdots &{k\left( {{x_2},{x_n}} \right)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {k\left( {{x_n},{x_1}} \right)}&{k\left( {{x_n},{x_2}} \right)}& \ldots &{k\left( {{x_n},{x_n}} \right)} \end{array}} \right] \end{aligned} $$ (29) $$ \begin{aligned} &K({X_*},X) = {K_*} = \\ &\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k\left( {x_1^*,{x_1}} \right)}&{k\left( {x_1^*,{x_2}} \right)}& \cdots &{k\left( {x_1^*,{x_n}} \right)} \\ {k\left( {x_2^*,{x_1}} \right)}&{k\left( {x_2^*,{x_2}} \right)}& \cdots &{k\left( {x_2^*,{x_n}} \right)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {k\left( {x_p^*,{x_1}} \right)}&{k\left( {x_p^*,{x_2}} \right)}& \ldots &{k\left( {x_p^*,{x_n}} \right)} \end{array}} \right] \end{aligned} $$ (30) $$ \begin{aligned} & K({X_*},{X_*}) = {K_{**}} = \\ &\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k\left( {x_1^*,x_1^*} \right)}&{k\left( {x_1^*,x_2^*} \right)}& \cdots &{k\left( {x_1^*,x_p^*} \right)} \\ {k\left( {x_2^*,x_1^*} \right)}&{k\left( {x_2^*,x_2^*} \right)}& \cdots &{k\left( {x_{_2}^*,x_p^*} \right)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {k\left( {x_p^*,x_1^*} \right)}&{k\left( {x_p^*,x_2^*} \right)}& \ldots &{k\left( {x_p^*,x_p^*} \right)} \end{array}} \right] \end{aligned} $$ (31) 式中，$ X=[x_1,x_2,\cdots,x_n] $为训练样本自变量集合，$ \boldsymbol{d}= [\Delta\xi_1,\Delta\xi_2,\cdots,\Delta\xi_n] $为训练样本的响应值集合，$ X_*=[x_1^*, x_2^*,\cdots,x_p^*] $为预测样本自变量集合, $ \boldsymbol{d}_*=[\Delta\xi_{1*},\Delta\xi_{2*},\cdots, \Delta\xi_{p*}] $为预测样本的响应值集合，$K(X,X)$为训练样本自变量的协方差矩阵,$K({X_*},X)$训练样本与预测样本自变量的协方差矩阵，$K({X_*},{X_*})$为预测样本自变量的协方差矩阵。
根据贝叶斯公式可得，在给定${\boldsymbol{d}}$的条件下，${{\boldsymbol{d}}_ * }$的后验分布即预测分布如式（32）所列。
$$ \begin{aligned} &p\left({{\boldsymbol{d}}}_{\ast }|{\boldsymbol{d}}\right)～\\ &\quad N\left({K}_{*}{\left[K+{\sigma }_{n}^{2}I\right]}^{-1}{\boldsymbol{d}},{K}_{**}-{K}_{*}{\left[K+{\sigma }_{n}^{2}I\right]}^{-1}{K}_{*}^{T}\right) \end{aligned} $$ (32) 由此可得预测分布的均值和方差如式（33）所列。
$$ \left\{ \begin{array}{l} {{\boldsymbol{\mu}} _ * } = E\left( {{{\boldsymbol{d}}_ * }\left| {\boldsymbol{d}} \right.} \right) = {K_*}{\left[ {K + \sigma _n^2I} \right]^{ - 1}}{\boldsymbol{d}} \\ {\displaystyle\sum _*} = E({({{\boldsymbol{d}}_ * } - E\left( {{{\boldsymbol{d}}_ * }\left| {\boldsymbol{d}} \right.} \right))^2}|{\boldsymbol{d}}) \\ = {K_{**}} - {K_*}{\left[ {K + \sigma _n^2I} \right]^{ - 1}}K_*^T \\ \end{array} \right. $$ (33) 式（33）中，${{\boldsymbol{\mu}} _ * }$即为预测得到的定位误差值。
为了优化超参数${\sigma _f}$、${\sigma _l}$与${\sigma _n}$的值，本文使用五折交叉验证法。将训练数据集分成五个子集，依次选择其中一个子集作为验证集，其余用于训练模型。通过在不同的超参数组合上训练和验证模型，选择在验证集上表现较好的超参数组合。
从训练数据中取得测试集，通过得到的模型预测得到预测集，在RFI源强度不变的情况下，测试集中定位误差与预测集中定位误差与RFI源之间的间距关系如图2所示。
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图 2 定位误差与RFI源之间的间距关系Figure 2. The relationship between localization error and RFI source spacing当RFI源之间的间距在图中中间空白区域内时，此时不易区分出多个RFI源，即多个RFI源易被检测为同一个，因此不考虑该范围内的数据，从其余的数据中看出，在RFI源强度不变的情况下，RFI源的定位误差随着RFI源之间的间距变大而变小，且处于RFI源拖尾范围内的区域受影响程度更大。
为了定量评估模型预测效果，我们计算预测定位误差与真实定位误差的线性相关性，相关系数为0.95，有较强的线性相关性，如图3所示。
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图 3 真实定位误差与预测定位误差的线性相关性Figure 3. Linear correlation between real localization error and predicted localization error2.2.4 RFI源定位误差估计与权重分配
以第i张快拍为例，设快拍内包含M个RFI源。首先对该快拍进行RFI定位、定强处理，得到快拍内每一个RFI源的定位、定强数据。第i张快拍中第k个RFI源定位结果的方向余弦坐标为$ \left( {\hat \xi _i^k,\hat \eta _i^k} \right) $，定强结果为$ \hat T_i^k $。
对于第i张快拍中第k个RFI源的定位估计误差，首先计算第t个RFI源与目标源在$ \xi $方向的间距$ \hat \xi _i^t - \hat \xi _i^k $，$ \eta $方向之间的间距$ \hat \eta _i^t - \hat \eta _i^k $与亮温比是$ {{\hat T_i^t} \mathord{\left/ {\vphantom {{\hat T_i^t} {\hat T_i^k}}} \right. } {\hat T_i^k}} $；接着将得到的数据分别输入到$ \xi $方向和$ \eta $方向的定位误差估计模型中，得到第t个RFI源对第k个RFI源在$ \xi $方向和$ \eta $方向上所造成的定位误差；接下来分别计算其余每一个RFI源对第k个RFI源在$ \xi $方向或$ \eta $方向造成的定位误差，最终得到第i张快拍第k个RFI源在$ \xi $方向和$ \eta $方向的定位估计误差，如式（34）所列。
$$ \left\{ \begin{gathered} D_{\xi (i)}^k = \sqrt {\sum\limits_{j = 1,j \ne k}^M {{{\left( {d_{\xi (i)}^{jk}} \right)}^2}} } \\ D_{\eta (i)}^k = \sqrt {\sum\limits_{j = 1,j \ne k}^M {{{\left( {d_{\eta (i)}^{jk}} \right)}^2}} } \\ \end{gathered} \right. $$ (34) 式（34）中，$ d_{\xi (i)}^{jk} $为第i张快拍中第j个RFI源对第k个RFI源在$ \xi $方向上造成的定位误差；$ d_{\eta (i)}^{jk} $为第i张快拍中第j个RFI源对第k个RFI源在$ \eta $方向上造成的定位误差。
对每张快拍中每一个RFI源重复上述操作，最终即可获得每张快拍中每一个RFI源在$ \xi $方向和$ \eta $方向上的定位估计误差。
接下来，以同一RFI源在不同快拍中不同方向上的定位估计误差为标准，将其定位估计误差的倒数作为该快拍中该RFI源的权重，并将不同快拍中的权重进行归一化，得到用于数据融合的权重向量，$\xi $方向和$\eta $方向的权重如式（35）所列。
$$ \left\{ \begin{gathered} w_{\xi (i)}^k = \frac{{1/D_{\xi (i)}^k}}{{\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {1/D_{\xi (j)}^k} }} \\ w_{\eta (i)}^k = \frac{{1/D_{\eta (i)}^k}}{{\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {1/D_{\eta (j)}^k} }} \\ \end{gathered} \right. $$ (35) 式（35）中，$ D_{\xi (i)}^k $为第i幅快拍的第k个RFI源在$\xi $方向上的定位误差，$ D_{\eta (i)}^k $为第i幅快拍的第k个RFI源在$\eta $方向上的定位误差，N为快拍总数。
2.2.5 多快拍RFI源定位结果的加权融合
挑选出用于数据融合的N张快拍，选择第N/2张快拍作为参考快拍，将其余快拍中RFI源的定位结果都通过坐标转换至参考快拍坐标系中，实现坐标系统一。坐标转换过程将每张快拍中的RFI源定位结果转换至地球经纬度坐标系中，再将其经纬度坐标转换至参考快拍坐标系中。
完成权重分配与统一坐标系后，进行加权融合，得到目标RFI源的融合定位结果。$\xi $方向和$\eta $方向融合定位结果如式（36）所列。
$$ \left\{ \begin{gathered} {\xi ^k} = \sum\limits_{i = 1}^N {w_{\xi (i)}^k * {{\hat \xi }^{'k}}_i} \\ {\eta ^k} = \sum\limits_{i = 1}^N {w_{\eta (i)}^k * {{\hat \eta }^{'k}}_i} \\ \end{gathered} \right. $$ (36) 式（36）中，$ {\hat \xi ^{'k}}_i $为坐标转换后第i张快拍k个RFI源在$\xi $方向上的定位结果，$ {\hat \eta ^{'k}}_i $为坐标转换后第i张快拍k个RFI源在$\eta $方向上的定位结果，N为快拍总幅数。
3. 实验
3.1 基于SMOS的实验验证
本节中，使用包含RFI源的真实SMOS数据对所提算法与简单平均算法的性能进行了比较，以证明该算法的有效性与实用性。
为了分析算法在真实场景中的性能，本文在SMOS数据上进行了实验验证。选取
199710443 与199710448 两张快拍，其中，快拍199710443 中包含两个相近RFI源，快拍199710448 中包含一个独立RFI源，并且这两幅快拍中包含同一RFI源。两张快拍的原始亮温图如图4所示。首先对上述两幅快拍进行RFI定位，并将快拍
199710443 作为参考快拍，将两幅快拍的RFI源定位结果均转换至参考快拍中，其次利用两幅快拍中RFI源的定位定强数据与定位误差估计模型对两幅快拍中同一RFI源$\xi $方向和$\eta $方向的定位误差进行预测，将得到的定位误差代入式（35）得到两张快拍中同一RFI$\xi $方向和$\eta $方向定位结果的权重，最后利用式（36）对RFI的定位结果进行加权融合，RFI源定位误差的预测结果与融合定位结果如表1所列。表 1 预测定位误差与不同算法定位结果Table 1. Prediction localization error and localization results of different algorithms快拍 预测定位
误差/km定位结果 传统算法 本文算法 199710443 3.0733 ( 0.1423 ，0.0582 ）( 0.1410 ，0.0576 ）199710448 0.1068 由预测定位误差可以看出，第一幅快拍的定位误差更大，这是因为当快拍中存在两个RFI源时，RFI源的相互影响程度随着RFI源间距的减小而增大，符合定位误差数据的特征。
因为使用的两张快拍中RFI源的真实位置未知，所以为了定量评估所提算法的定位精度，我们分别使用简单平均算法与本文所提算法得到的RFI定位结果对两张快拍进行RFI抑制，以RFI抑制后RFI源附近区域（半径为0.05的圆形区域）亮温图像抑制残差$ RE $来衡量定位结果的准确度，标准差越小则证明定位结果精度越高。如式（37）所列。
$$ RE = STD\left( {{T_{mitigated}}} \right) $$ (37) 式（37）中，$ {T_{mitigated}} $为抑制后快拍亮温，$ STD(·) $表示标准差。
使用简单平均算法与本文所提算法定位结果进行RFI抑制后的亮温图像，如图5所示。亮温抑制残差如表2所列。
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图 5 RFI抑制后的亮温图像，传统算法（左）本文算法（右）Figure 5. Brightness temperature image after RFI suppression, traditional algorithm (left) this article's algorithm (right)可以发现，在两张快拍中，使用多快拍融合定位算法的定位结果进行RFI抑制后的亮温残差均更小，证明本文提出的算法性能要优于简单平均算法。
表 2 RFI抑制后亮温残差Table 2. Residual brightness temperature after RFI mitigation算法 抑制残差 快拍 199710443 快拍 199710448 传统算法 39.7726 118.3944 本文算法 37.6604 58.9639 3.2 基于仿真的性能分析
在本节中，使用添加了模拟RFI源的SMOS无RFI场景对所提算法与简单平均算法的性能进行了定量比较，以证明该算法的有效性。
为了分析在多快拍下算法的定位性能，我们通过向无RFI场景中添加RFI源，构造了同一场景的不同快拍，各快拍亮温图像如图6所示。各快拍中RFI源的位置与强度如表3所列。
对上述各快拍进行RFI定位处理后，利用所提算法对RFI-1进行精确定位。首先，通过得到的定位误差估计模型对各快拍中RFI-1在$ \xi $方向和$ \eta $方向的定位误差进行估计；其次，将估计误差代入公式（35）中得到两个仿真场景中RFI-1的$ \xi $方向和$ \eta $方向定位结果的权重并进行归一化；最后，利用公式（36）对RFI-1的定位结果进行加权融合。RFI-1的实际定位误差与估计定位误差如表4所列。
表 3 各快拍中RFI源的位置与强度Table 3. Location and intensity of RFI sources in each snapshot快拍 RFI-1 RFI-2 RFI-3 位置 强度/K 位置 强度/K 位置 强度/K 快拍1 (0,0) 2 000 (0,0.04) 1600 (0.08,0) 1600 快拍2 (0,0) 2 000 - - (0.08,0) 1600 快拍3 (0,0) 2 000 (0,0.04) 1600 快拍4 (0,0) 2 000 (0,0.04) 1000 表 4 RFI-1的实际定位误差与定位估计误差Table 4. Actual localization error and localization estimation error of RFI-1快拍 RFI-1实际定位误差/km RFI-1估计定位误差/km 快拍1 2.6990 2.9098 快拍2 0.2372 0.2392 快拍3 2.6095 2.8857 快拍4 1.1443 0.9476 观察上表可以发现，当快拍中存在多个RFI源时，RFI源之间会相互干扰使得定位误差增大。观察快拍2，3可以发现，当RFI源强度相同时，两个RFI源距离越近，定位误差越大；观察快拍3，4可以发现，当RFI源相对位置固定时，RFI的强度越大，定位误差越大。估计定位误差与实际定位误差均符合本文2.3.2节得到的规律。
为了定量评估所提算法的定位精度，我们使用本文所提的算法与简单平均算法进行RFI定位。我们以在$ \left( {\xi ,\eta } \right) $平面上RFI定位结果与真实位置之间的绝对距离$ d $来定量分析算法的定位精度，如式（38）所列。
$$ d = \sqrt {{{\left( {\hat \xi - \xi } \right)}^2} + {{\left( {\hat \eta - \eta } \right)}^2}} $$ (38) 式（38）中，$ \left( {\hat \xi ,\hat \eta } \right) $为RFI的定位结果，$ \left( {\xi ,\eta } \right) $为RFI的真实位置。
简单平均定位结果与融合定位结果与定位误差，如表5所列。
表 5 RFI-1平均定位结果与融合定位结果及对应定位误差Table 5. RFI-1 average localization result, fusion localization result, and corresponding localization error算法 RFI-1定位结果 d 传统算法 ( 0.0002 ,0.0022 )2e-03 本文算法 (6e-05, 2e-05) 6e-05 上述结果表明，在多快拍情况下，本文所提算法的定位误差为6e-05，简单平均算法的定位误差为2e-03。显然，本文所提算法的定位精度更高。因此，可以证明该算法相比简单平均算法在利用多快拍进行RFI定位时的定位性能更优。
4. 结论
本文提出了一种基于高斯过程回归的多快拍RFI定位融合算法。考虑到同一RFI源在不同快拍中的位置和功率不同，导致不同快拍中同一RFI源的定位精度不同，使用简单平均算法难以获得最优的定位精度。因此，本文使用高斯过程回归模型对RFI源的定位误差数据进行回归学习得到相应的定位误差估计模型，使用该模型对每张快拍中RFI源进行定位误差估计并以此为标准进行权重分配，最终通过加权数据融合算法实现多快拍RFI定位融合。本文详细介绍了RFI源定位误差数据集的生成过程、高斯过程回归模型的训练过程、RFI定位误差的估计与权重分配和加权数据融合过程。
实验部分，使用了SMOS数据与仿真数据对该算法进行了验证。实验结果表明，通过本文的误差模型得到的估计定位误差符合多RFI源下的定位误差特征，且与传统的简单平均算法相比，使用本文算法得到的定位结果进行RFI抑制后亮温图像的抑制残差更小，证明本文算法的定位更加精确。从仿真结果可以看出，本文得到的定位误差模型准确性较高，估计定位误差与实际定位误差之间的误差在0.2 km左右，并且估计定位误差符合多RFI源相互干扰下的定位误差特征；使用本文算法得到的定位结果远优于传统算法的定位结果。
综上所述，本文所提算法实现了多快拍的定位融合，充分地利用多快拍提供不同的信息，提高了RFI源的定位精度。这一成果为实际应用中解决相关问题提供了新的思路和方法。
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图 2 定位误差与RFI源之间的间距关系
Figure 2. The relationship between localization error and RFI source spacing
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图 3 真实定位误差与预测定位误差的线性相关性
Figure 3. Linear correlation between real localization error and predicted localization error
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图 5 RFI抑制后的亮温图像，传统算法（左）本文算法（右）
Figure 5. Brightness temperature image after RFI suppression, traditional algorithm (left) this article's algorithm (right)
表 1 预测定位误差与不同算法定位结果
Table 1 Prediction localization error and localization results of different algorithms
快拍 预测定位
误差/km定位结果 传统算法 本文算法 199710443 3.0733 ( 0.1423 ，0.0582 ）( 0.1410 ，0.0576 ）199710448 0.1068 
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表 2 RFI抑制后亮温残差
Table 2 Residual brightness temperature after RFI mitigation
算法 抑制残差 快拍 199710443 快拍 199710448 传统算法 39.7726 118.3944 本文算法 37.6604 58.9639
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表 3 各快拍中RFI源的位置与强度
Table 3 Location and intensity of RFI sources in each snapshot
快拍 RFI-1 RFI-2 RFI-3 位置 强度/K 位置 强度/K 位置 强度/K 快拍1 (0,0) 2 000 (0,0.04) 1600 (0.08,0) 1600 快拍2 (0,0) 2 000 - - (0.08,0) 1600 快拍3 (0,0) 2 000 (0,0.04) 1600 快拍4 (0,0) 2 000 (0,0.04) 1000
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表 4 RFI-1的实际定位误差与定位估计误差
Table 4 Actual localization error and localization estimation error of RFI-1
快拍 RFI-1实际定位误差/km RFI-1估计定位误差/km 快拍1 2.6990 2.9098 快拍2 0.2372 0.2392 快拍3 2.6095 2.8857 快拍4 1.1443 0.9476
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表 5 RFI-1平均定位结果与融合定位结果及对应定位误差
Table 5 RFI-1 average localization result, fusion localization result, and corresponding localization error
算法 RFI-1定位结果 d 传统算法 ( 0.0002 ,0.0022 )2e-03 本文算法 (6e-05, 2e-05) 6e-05
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